Képzeljétek el, hogy ezt a poént éjszaka, fél 1-kor olvassátok...
Geometriák
2009.06.28. 12:18 P-ter
Találkoznak-e a párhuzamosok? Erre a kérdésre sokan rávágnánk, h nem, pedig ebben az esetben nem lenne igazunk... Már az ókorban feltűnt h ennek megfogalmazása komplikáltabb a többinél, ugyanis a többi axióma segítségével (pl: Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők, vagy két egyenes vonal nem fog közre területet) hiába próbálkoztak, nem tudták levezetni, mivel állandóan felhasználták azt az állítást, amely ekvivalens volt a párhuzamossági axiómával. Így nem bizonyítottak semmit... A párhuzamosság problémáját jelen állás szerint nem lehet megoldani, ellenben, ha a közismert állítás (sosem találkoznak) ellenkezőjét helyettesítjük be az axióma rendszerbe, egy önálló, jól működő geometriát kapunk. (Boylai-Lobacsevszkij féle geometria). Mindezek felett Bolyai János megalkotta az úgynevezett abszolút geometriát, amelynek levezetett tételei egyaránt igazak mind az Euklideszi (hétköznapi) mind a Bolyai-Lobacsevszkij féle geometriára... Bolyai az utóbbit az abszolút geometria egy speciális eseteként kapta. Hogyan nyilvánul ez meg a matematikában? Íme 3 változata a szinusz tételnek
1, Azt hiszem ez ismerős lesz, az Euklideszi geometriában érvényesülő szinusz tétel:
a:b:c=sinalfa:sinbéta:singamma
2, Ugyan ez a párhuzamosok találkozására alapozott geometriában:
sh(a/k) : sh(b/k) :sh(c/k)= sinalfa : sinbéta : singamma, ahol sh(x) a szinusz hiperbolikus függvényét jelöli, míg a k egy teret jellemző konstans.
3, És mindez az abszolút geometriában:
Oa:Ob:Oc= sinalfa:sinbéta:singamma, ahol O az r sugarú kör kerületét jelöli. Miért abszolút geometria tétel ez? Mert ha az euklideszi geometria szerinti kör kerületképletet behelyettesítjük az abszolút geometriai képletbe [2(pí)r], majd egyszerűsítünk 2(pí)-vel akkor megkapjuk az 1. szinusztételt, míg ha a Bolyai-Labocsevszkij féle kerületképletet helyettesítjük be ( 2(pí)ksh(r/k) ) akkor a 2. szinusztételt kapjuk meg...
Azt, h 2 párhuzamos találkozik avagy sem, bebizonyítani nem tudjuk, azonban mind2 esetet elfogadjuk, mégha ellentmondásba is ütközik, akárcsak a fénysebesség állandóságát.
forrás: IPM
By Csokyvok
5 komment
Címkék: matek
